3.5 KB · ⇊ 2 parts · ⤓ Micron 3.5 KB · ⤓ HTML 24.0 KB

top

In der Topologie ist ein Element a {\displaystyle a} einer Menge X {\displaystyle X} ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von a {\displaystyle a} gibt, in der (außer a {\displaystyle a} ) keine weiteren Elemente von X {\displaystyle X} liegen.cite-ref-1[1] Ein Punkt a ∈ ∈ X {\displaystyle a\in X} ist also genau dann isoliert, wenn a {\displaystyle a} kein Häufungspunkt von X {\displaystyle X} ist.cite-ref-2[2]

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

• Definition

• Beispiele

• Einzelnachweise

Sei ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} ein metrischer Raum und A ⊂ ⊂ X {\displaystyle A\subset X} . Ein Punkt a ∈ ∈ A {\displaystyle a\in A} heißt isolierter Punkt von A, wenn es ε ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} gibt mit U ε ε ( a ) ∩ ∩ A = { a } {\displaystyle \ U_{\varepsilon }(a)\cap A=\{a\}} .

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

• In der Menge { 0 } ∪ ∪ [ 1 , 2 ] {\displaystyle \{0\}\cup [1,2]} ist 0 {\displaystyle 0} ein isolierter Punkt.

• In der Menge { 1 2 , 2 3 , 3 4 , … … } ∪ ∪ { 1 } {\displaystyle \{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},\dots \}\cup \{1\}} ist jedes der Elemente n n + 1 {\displaystyle {\tfrac {n}{n+1}}} ein isolierter Punkt, aber 1 {\displaystyle 1} ist kein isolierter Punkt.

• In der Menge der natürlichen Zahlen N = { 0 , 1 , 2 , … … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}} sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.

cite-note-11. ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= B.I-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, § 2.3 Definition.

cite-note-22. ↑ Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Kap. 2.1, Definition auf Seite 299.